在電路分析中，克希荷夫定律（Kirchhoff’s Laws）是兩項基礎且重要的法則，分別為克希荷夫電流定律（KCL）與克希荷夫電壓定律（KVL）。這兩項定律來自於電荷與能量守恆原理，廣泛應用於直流（DC）與交流（AC）電路的分析。

克希荷夫電流定律（KCL）

定律說明

克希荷夫電流定律指出：在任何電路接點（也就是兩條以上導線交會的地方），流入該接點的總電流會等於流出該接點的總電流。換句話說，接點的電流代數總和為零。

數學推導

考慮一個接點，連接 $n$ 條導線，電流分別為 $I_1, I_2, \ldots, I_n$。根據電荷守恆原理，該接點的電流代數和為零：

$$ \sum_{k=1}^{n} I_k = 0 $$

其中，流入接點的電流視為正值，流出接點的電流視為負值。

實例應用

假設有一個接點，三條導線連接，電流分別為：

• $I_1 = 3,\text{A}$（流入）
• $I_2 = 2,\text{A}$（流入）
• $I_3$（流出，未知）

根據 KCL：

$$ I_1 + I_2 - I_3 = 0 \Rightarrow I_3 = I_1 + I_2 = 5,\text{A} $$

因此，流出該接點的電流 $I_3$ 為 5A。

應用情境

• 分析並聯電路中的電流分布。
• 進行接點電壓分析（Nodal Analysis）的基礎。
• 用於設計與除錯時，確認電流路徑是否正確。

克希荷夫電壓定律（KVL）

定律說明

克希荷夫電壓定律指出：在任何一個閉合電路迴路中，所有元件的電壓代數總和為零。也就是說，電源提供的能量會完全被電路中各個元件消耗。

數學推導

對於一個閉合迴路，若有 $m$ 個元件，電壓分別為 $V_1, V_2, \ldots, V_m$，則：

$$ \sum_{k=1}^{m} V_k = 0 $$

其中，電壓升（像是通過電池從負極到正極）視為正值，電壓降（如通過電阻方向）視為負值。

實例應用

考慮一個簡單的串聯電路，包含：

• 電池電壓 $V_s = 12,\text{V}$
• 電阻 $R_1 = 10,\Omega$
• 電阻 $R_2 = 20,\Omega$

假設電流方向為順時針，根據 KVL：

$$ V_s - I \cdot R_1 - I \cdot R_2 = 0 $$

解出電流 $I$：

$$ I = \frac{V_s}{R_1 + R_2} = \frac{12}{10 + 20} = 0.4,\text{A} $$

所以，整體電路中的電流為 0.4A，接著也能算出各個電阻兩端的電壓降。

應用情境

• 分析串聯電路中各元件的電壓分布。
• 是進行網孔分析（Mesh Analysis）的基礎。
• 電路設計與除錯時確認電壓是否正確分配。

KCL 與 KVL 的比較與應用

掌握 KCL 與 KVL，有助於分析各種電路結構，無論是簡單的串並聯電路，還是複雜的多節點網狀結構。這兩條定律是電路學的基礎，對於學習電子電機工程或從事相關產業的朋友來說，都是必備知識。

想進一步學習，推薦參考以下資源：

• 克希荷夫電流定律（KCL）教學
• 克希荷夫電壓定律（KVL）教學
• 克希荷夫定律 - 維基百科