拉普拉斯變換的定義

拉普拉斯變換是一種將時間域函數 $f(t)$ 轉換為複數頻域函數 $F(s)$ 的積分變換，定義如下：

$$ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt $$

其中，$s$ 為複數變數，$s = \sigma + i\omega$。

拉普拉斯變換的基本性質

拉普拉斯變換具有多項重要性質，這些性質有助於將時域的積分與微分操作轉換為頻域中的代數運算，以下為常見的幾種性質：

線性性（Linearity）

拉普拉斯變換對加法與常數乘法具有線性性。換句話說，複合函數的變換可以拆解成個別函數的變換加總。

$$ \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\} $$

時間延遲性（Time Shifting）

函數延遲 $a$ 單位時間會導致其拉普拉斯變換乘上一個指數衰減項 $e^{-as}$。此性質常用於分析延遲系統。

$$ \mathcal{L}\{f(t - a) u(t - a)\} = e^{-a s} \mathcal{L}\{f(t)\} $$

其中，$u(t - a)$ 為單位階躍函數，代表從 $t = a$ 起函數才開始作用。

頻率平移性（Frequency Shifting）

若將原函數乘上 $e^{at}$，其拉普拉斯變換會對 $s$ 產生平移，反映在頻域上的轉換。

$$ \mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\} \big|_{s \to s - a} $$

摺積性（Convolution）

兩函數在時域中進行摺積，其拉普拉斯變換等於兩個函數拉普拉斯變換的乘積，這對於系統輸入與脈衝響應的分析非常重要。

$$ \mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = \mathcal{L}\{f(t)\} \cdot \mathcal{L}\{g(t)\} $$

其中，摺積定義為：

$$ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $$

初值定理（Initial Value Theorem）

可用來快速找出原函數在 $t = 0^+$ 的值，前提是函數與其變換存在且不發散。

$$ \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} s \mathcal{L}\{f(t)\} $$

終值定理（Final Value Theorem）

可用來預測函數的穩態值（$t \to \infty$），適用於穩定系統，且所有極點需在左半平面。

$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s \mathcal{L}\{f(t)\} $$

常見函數的拉普拉斯變換

微分函數

一階導數

$$ \mathcal{L}\{f’(t)\} = sF(s) - f(0) $$

推導：

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{f’(t)\} &= \int_0^{\infty} e^{-st} f’(t) dt \\ &= \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^{\infty} + s \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \\ &= 0 - f(0) + sF(s) \\ &= sF(s) - f(0) \end{aligned} $$

二階導數

$$ \mathcal{L}\{f’’(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f’(0) $$

推導：

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{f’’(t)\} &= \mathcal{L}{f’(t)}’ \\ &= s \mathcal{L}{f’(t)} - f’(0) \\ &= s(sF(s) - f(0)) - f’(0) \\ &= s^2F(s) - sf(0) - f’(0) \end{aligned} $$

一般 n 階導數

$$ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{k=1}^{n} s^{n-k} f^{(k-1)}(0) $$

積分函數

$$ \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = \frac{F(s)}{s} $$

推導：

設 $g(t) = \int_0^t f(\tau) d\tau$，則 $g’(t) = f(t)$，且 $g(0) = 0$。

根據微分的拉普拉斯變換性質：

$$ \mathcal{L}\{g’(t)\} = s \mathcal{L}\{g(t)\} - g(0) = s \mathcal{L}\{g(t)\} $$

但 $g’(t) = f(t)$，因此：

$$ \mathcal{L}\{f(t)\} = s \mathcal{L}\{g(t)\} \Rightarrow \mathcal{L}\{g(t)\} = \frac{F(s)}{s} $$

指數函數

$$ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}, \quad \text{當 } \text{Re}(s) > a $$

推導：

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{e^{at}\} &= \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} dt \\ &= \int_0^{\infty} e^{-(s - a)t} dt \\ &= \left[ \frac{e^{-(s - a)t}}{-(s - a)} \right]_0^{\infty} \\ &= \frac{1}{s - a} \end{aligned} $$

應用範例：解一階線性微分方程

問題：

$$ y’(t) + 3y(t) = e^{2t}, \quad y(0) = 1 $$

解題步驟：

1. 對微分方程兩邊取拉普拉斯變換：

   $$ \mathcal{L}\{y’(t)\} + 3\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{e^{2t}\} $$

   利用性質：

   $$ (sY(s) - y(0)) + 3Y(s) = \frac{1}{s - 2} $$

   代入初始條件 $y(0) = 1$：

   $$ sY(s) - 1 + 3Y(s) = \frac{1}{s - 2} $$

   整理方程式：

   $$ (s + 3)Y(s) = \frac{1}{s - 2} + 1 $$

2. 解代數方程，求 $Y(s)$：

   $$ Y(s) = \frac{1}{(s - 2)(s + 3)} + \frac{1}{s + 3} $$

3. 部分分式分解：

   $$ \frac{1}{(s - 2)(s + 3)} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{s - 2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{s + 3} $$

   合併：

   $$ Y(s) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{s - 2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{s + 3} $$

4. 取拉普拉斯反變換，求 $y(t)$：

   $$ y(t) = \frac{1}{5} e^{2t} + \frac{4}{5} e^{-3t} $$

最終解答：

$$ y(t) = \frac{1}{5} e^{2t} + \frac{4}{5} e^{-3t} $$

結語

拉普拉斯變換是一種強大的數學工具，能夠將微分方程轉換為代數方程，簡化求解過程。透過上述的推導與範例，我們可以清楚地看到其在解微分方程中的應用。熟練掌握拉普拉斯變換的性質與技巧，將有助於在工程、物理和數學等領域中更有效地分析和解決問題。